4. Bir okulda, öğrencilerin güvenli bir şekilde oyun oynayabileceği dikdörtgen şeklinde bir bahçe yapılması planlanmaktadır. Bahçe ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir. • Bahçenin alanı 180 m2 olacaktır. • Kenar uzunlukları metre cinsinden tam sayı olacaktır. • Bahçenin kısa kenarı en az 5 metre olacaktır. • Bahçenin çevresi güvenlik amacıyla çitle kaplanacaktır. • Çitin metre başına maliyeti 500 TL’dir. Bu bilgilere göre bahçenin alan koşulunu sağlayan ve çit maliyetini en aza indiren boyutlarının belirlenmesi istenmektedir. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız. a) 180 m2 lik alan için oluşturulabilecek dikdörtgenlerin kenar uzunluklarını işlem adımlarını göstererek listeleyiniz. (5 Puan) b) Çit maliyetini en az çıkaran dikdörtgenin kenar uzunluklarını belirleyiniz. Bu seçiminizi asal çarpanlar ve bölenler arasındaki ilişkiyi kullanarak, matematiksel olarak açıklayınız. (5 Puan)
MEB’in resmi çözümünü göster
4.a) 180 m2 lik alan için kenar uzunlukları tam sayı olacak şekilde tüm dikdörtgen boyutları aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Yönergede bulunan "Kenar uzunlukları 5 metreden az olmamalı." kuralına dikkat ediniz. Kısa Kenar Uzunluğu · Uzun Kenar Uzunluğu = Kısa Kenar Uzunluğu (m) Uzun Kenar Uzunluğu (m) Alan (m2) 5 36 5 · 36 = 180 (1 puan) 6 30 6 · 30 = 180 (1 puan) 9 20 9 · 20 = 180 (1 puan) 10 18 10 · 18 = 180 (1 puan) 12 15 12 · 15 = 180 (1 puan) 4.b) Çit maliyeti çevre uzunluğuna bağlıdır ve M = Ç · 500 bağıntısı ile hesaplanmaktadır. Bu nedenle çevre uzunluğu ne kadar kısaysa maliyet de o kadar az olur. Sabit alanlı dikdörtgenlerde çevre uzunluğunun en az olması, kenar uzunluklarının birbirine mümkün olduğunca yakın olmasına bağlıdır. Sayı Asal Çarpanlarına Ayrılmış Hâli Asal Çarpanlarının Sayısı Pozitif Tam Sayı Bölenleri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 180 2 tane 2, 2 tane 3, 1 tane 5 22 · 32 · 5 30, 36, 45, 60, 90,180 Yönergede bulunan "Kenar uzunlukları 5 metreden az olmamalı ve kenar uzunlukları metre cinsinden tam sayı olacaktır." kurallarına dikkat edildiğinde (5 , 36), (6 , 30), (9, 20), (10 , 18), (12 , 15) bölen çiftleri kullanılarak 180 sayısının bölenleri arasında birbirine en yakın olan bölen çifti 12 ve 15’tir. Bu nedenle en kısa çevre uzunluğu bu boyutlarda elde edilir. (12, 15) olmak üzere, Ç = 2(12 + 15) = 2 · 27 = 54 m M = 54 · 500 = 27000 TL Tam Puan : 5 Kısmi Puan: 3 Sıfır Puan :0