3. İkinci dereceden bir bilinmeyenli x x 2 5 0 2 - + = denklemi veriliyor. Buna göre, a) Bu denklemin çözüm kümesini bulunuz. b) Bu denklemin köklerinin çarpma işlemine göre terslerini kök kabul eden ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi yazınız.
✅ Cevap ve adım adım çözüm
1. a = 1, b = −2, c = 5. Diskriminant: Δ = b² − 4ac = 4 − 20 = −16 < 0; kökler karmaşıktır.
2. x = (2 ± √−16)/2 = (2 ± 4i)/2 = 1 ± 2i.
3. Kökler toplamı 2, çarpımı 5'tir. Terslerin toplamı: 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂) = 2/5. Terslerin çarpımı: 1/(x₁x₂) = 1/5.
4. Yeni denklem: x² − (2/5)x + 1/5 = 0; 5 ile çarp: 5x² − 2x + 1 = 0.
Cevap: a) Ç = {1 − 2i, 1 + 2i} b) 5x² − 2x + 1 = 0
Dikkat: Köklerin tersini kök kabul eden denklemde katsayılar ters sıralanır: x² − 2x + 5 → 5x² − 2x + 1.