4. Şekilde birbirlerine ikişer ikişer teğet olan , , O O O ve O 1 2 3 4 merkezli eş çemberler, O merkezli daireye sırasıyla A, B, C ve D noktalarında teğettir. O merkezli dairenin yarıçapının uzunluğu 4 4 2 + birimdir. A B O1 O2 O O3 O4 D C Buna göre O merkezli dairenin içinde ve eş çemberlerin dışında kalan boyalı bölgelerin alanları toplamının kaç r birimkare olduğunu bulunuz. SENARYO 2
✅ Cevap ve adım adım çözüm
1. Eş çemberlerin yarıçapı r olsun. Birbirine teğet dört eş çemberin merkezleri kenarı 2r olan bir kare oluşturur; O bu karenin merkezidir.
2. |OO1| = karenin köşegeninin yarısı = 2r·√2/2 = r√2.
3. O1 merkezli çember büyük daireye A'da teğet olduğundan: R = r√2 + r = r(√2 + 1) = 4 + 4√2 ⇒ r = 4.
4. Büyük daire alanı: π(4 + 4√2)² = π(16 + 32√2 + 32) = (48 + 32√2)π. Dört küçük dairenin alanı: 4·16π = 64π.
5. Boyalı alan: (48 + 32√2)π − 64π = (32√2 − 16)π.
Cevap: (32√2 − 16)π birimkare
Dikkat: İçten teğet çemberlerde merkezler arası uzaklık yarıçapların farkıdır: R − r = r√2.